先约定除数
循环冗余校验的英文简称是 CRC。把代码看成多项式的系数，本例选择 x³+x+1，对应位串 1011，次数是 3。
2.5.3 · 建议 18 分钟
用模 2 除法生成校验码
给数据补零、逐位异或求余，再模拟传错并检查接收余数。
教材定位：纪禄平等《计算机组成原理》第 6 版，2.5.3，第 77—79 页（书内印刷页码）。
学习顺序：先完成二进制、奇偶校验与异或概念。
学习顺序：先完成二进制、奇偶校验与异或概念。
先读懂，再操作
从这个问题开始：为什么把余数拼回去，就能通过检查？
模 2 除不借位
模 2 的加减等价于逐位异或：相同为 0，不同为 1，没有进位或借位。它不是普通十进制或二进制整数除法。
编码与检查使用同一规则
给原数据补 3 个零，用 1011 作模 2 除，把得到的 3 位余数拼在原数据后。接收方用同一除数检查，非零余数说明发现错误。
本页小词典 · 遇到生词可以回来看
- 生成多项式
- 双方约定用来生成和检查校验码的多项式。
- 异或
- 两个位相同得到 0，不同得到 1。
- 模 2 除
- 以逐位异或代替减法，不借位的多项式除法。
- 余数
- 模 2 除完后剩下的低位代码，用来生成或检查校验信息。
动手观察：用模 2 除法生成校验码
动态图解 · 公式推演演示范围固定 (7,4) 教学码，生成多项式 1011；高位在左，不反射，初始余数为 0，无最终异或。定位表仅供最多一位错的情形使用。
带着问题再试一次
- 先把翻转位置设为 0，观察发送码字的检验余数为 000。
- 逐一翻转七个位置，对照单错位置表；再同时翻转 1、2 位，思考单错表还能否保证定位。
做完再看解释
检查理解
用两道小题检查是否看懂本页的核心过程，答错可以重新尝试。
本节知识清单与课堂延伸
本页固定为 4 位数据、3 位余数的 7 位码，生成多项式为 1011。该组合在最多一位错误时，可建立非零余数与位置的一一对应。
余数为零并不证明绝对无错，多位错误可能漏检；换成别的码长或生成多项式，不能沿用本页单错定位表。实际 CRC 方案还需明确初值、位序等参数。
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